|
Решаем задания со сборника задач Чертов А.Г., Воробьев А.А.
|
|
| Massimo | Дата: Понедельник, 18.11.2013, 15:10 | Сообщение # 16 |
|
Полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 183
Репутация: 0
Статус: Offline
| Решаем задания со сборника задач Чертов А.Г., Воробьев А.А.
Стоимость: 10-30 рублей за 1 задачу. (Webmoney, Yandex)
Срок решения 2-3 дня, зависит от количества заданий (Заказы принимаются по почте PMaxim2006@mail.ru или ICQ 624177127)
Примерное решение и оформление заданий вы можете посмотреть на странице Примеры решений
Масса ядра
40.1. Зная постоянную Авогадро NA , определить массу ma нейтрального атома углерода 12С и массу т, соответствующую углеродной единице массы.
40.2. Чем отличаются массовое число от относительной массы ядра?
40.3. Хлор представляет собой смесь двух изотопов с относительными атомными массами Ar1=34,969 и Ar2=36,966. Вычислить относительную атом-ную массу Аr хлора, если массовые доли 1 и 2 первого и второго изотопов соответственно равны 0,754 и 0,246.
* При K-захвате из ядра выбрасывается нейтрино, однако для решения данной задачи это cущественной роли не играет.
40.4. Бор представляет собой смесь двух изотопов с относительными атомными массами Ar1=10,013 и Ar2=11,009. Определить массовые доли 1 и 2 первого и второго изотопов в естественном боре. Относительная атомная масса Аr бора равна 10,811.
40.5. Какую часть массы нейтрального атома плутония составляет масса его электронной оболочки?
40.6. Определить массу ядра лития, если масса нейтрального атома лития равна 7,01601 а. е. м.
Состав ядра. Размеры ядра
40.7. Укажите, сколько нуклонов, протонов, нейтронов содержат следую-щие ядра: 1) 32He; 2) 105В; 3) 2311Na; 4) 5426Fе; 5) 10447Ag; 6) 23892U.
40.8. Напишите символические обозначения ядер изотопов водорода и на-зовите их.
40.9. Укажите, сколько существует изобар с массовым числом А=3. На-пишите символические обозначения ядер.
40.10. Какие изотопы содержат два нейтрона? (Дать символическую за-пись ядер.)
40.11. Определить атомные номера, массовые числа и химические симво-лы зеркальных ядер, которые получатся, если в ядрах 32Не, 74Ве, 158O про-тоны заменить нейтронами, а нейтроны — протонами. Привести символиче-скую запись получившихся ядер.
40.12. Определить диаметры следующих ядер: 1) 83Li; 2) 2713А1;
3) 6429Cu; 4) 12550Sn; 5) 21684Ро.
40.13. Определить концентрацию нуклонов в ядре.
40.14. Оценить, какую часть от объема атома кобальта составляет объем его ядра. Плотность ρ кобальта равна 4,5*103 кг/м3.
40.15. Показать, что средняя плотность (ρ) ядерного вещества одинакова для всех ядер. Оценить (по порядку величины) ее значение.
40.16. Используя соотношение Z=A/2, которое справедливо для многих легких ядер, определить среднюю объемную плотность заряда ядра.
40.17. Два ядра 105В сблизились до расстояния, равного диаметру ядра. Считая, что масса и заряд равномерно распределены по объему ядра, опреде-лить силу F1 гравитационного притяжения, силу F2 кулоновского отталкива-ния и отношение этих сил (F1 / F2).
Спин и магнитный момент ядра
40.18. Каково значение спина нуклона (в единицах ħ)?
40.19. Что называется спином ядра? Из чего он складывается?
40.20. Какие значения может иметь спин ядра (в единицах ħ)?
40.21. Какие теоретически возможные значения спина (в единицах ħ) мо-гут иметь следующие ядра: 1) 21Н; 2) 31Н; 3) 32Не; 4) 42Не?
40.22. Какие значения может иметь спин (в единицах ħ) следующих ядер: 1) четно-четных; 2) четно-нечетных; 3) нечетно-четных;
4) нечетно-нечетных?
40.23. В первоначальной модели ядра предполагалось, что ядро состоит из протонов и электронов. Показать, что это предположение не оправдывается, например для ядра азота 147N (азотная катастрофа). Спин ядра азота равен ħ, протона ½ ħ и электрона ½ħ
40.24. Спин дейтрона, находящегося в основном состоянии, равен ħ. Зная, что спиновое квантовое число протона равно 1/2, определить теоретически возможные значения спина нейтрона.
40.25. Что такое ядерный магнетон и как он выражается?
40.26. Каково соотношение между ядерным магнетоном и магнетоном Бо-ра?
40.27. Как выражается магнитный момент ядра?
40.28. Чем обусловлено сверхтонкое расщепление спектральных линий? В чем отличие сверхтонкого расщепления от тонкого?
Модели ядра
40.29. В чем сущность капельной модели ядра?
40.30. Какие явления объясняет капельная модель ядра?
40.31. В чем сущность оболочечной модели ядра?
40.32. Какие явления объясняет оболочечная модель ядра?
40.33. Могут ли электроны находиться в ядре? Ответ обосновать.
40.34. Какие ядра называются магическими? дважды магическими?
Ядерные силы
40.35. К какому типу взаимодействия относятся ядерные силы?
40.36. В чем проявляется короткодействующий характер ядерных сил?
40.37. Что такое зарядовая независимость?
40.38. В чем проявляется нецентральный характер ядерных сил?
40.39. Что означает свойство насыщения ядерных сил?
40.40. Что называется виртуальными частицами и какую роль они играют в объяснении ядерных сил?
Превращение ядер
40.41. Ядро радия 22688Ra выбросило α-частицу (ядро атома гелия 42Не). Найти массовое число А и зарядовое число Z вновь образовавшегося ядра. По таблице Д. И. Менделеева определить, какому элементу это ядро соответствует.
40.42. Ядро азота 147N захватило α-частицу и испустило протон. Определить массовое число А и зарядовое число Z образовавшегося в результате этого процесса ядра. Указать, какому элементу это ядро соответствует.
40.43. Ядро цинка 6530Zn захватило электрон из K-оболочки атома (К-захват). Указать, в ядро какого элемента превратилось ядро цинка (написать химический символ элемента, массовое и зарядовое число).
40.44. Ядро бериллия 74Ве захватило электрон из K-оболочки атома. Какое ядро образовалось в результате K-захвата?
40.45. В ядре изотопа углерода 146С один из нейтронов превратился в протон (β---распад). Какое ядро получилось в результате такого превращения?
40.46. Два ядра гелия (42Не) слились в одно ядро, и при этом был выброшен протон. Укажите, ядро какого элемента образовалось в ре-зультате такого превращения (приведите символическую запись ядра).
40.47. В ядре изотопа кремния 2714Si один из протонов превратил-ся в нейтрон (β+-распад). Какое ядро получилось в результате такого превращения?
40.48. Ядро цинка 6230Zn захватило электрон из К-оболочки и спустя некоторое время испустило позитрон. Какое ядро получилось в результате таких превращений?
40.49. Ядро плутония 23894Pu испытало шесть последовательных α-распадов. Написать цепочку ядерных превращений с указанием хими-ческих символов, массовых и зарядовых чисел промежуточных ядер и конечного ядра.
40.50. Покоившееся ядро радона 22086Rn выбросило α-частицу со скоростью v=16 Мм/с. В какое ядро превратилось ядро радона? Какую скорость v1 получило оно в результате отдачи?
Закон радиоактивного распада
41.1. Какова вероятность W того, что данный атом в изотопе радиоактивного йода 131I распадается в течение ближайшей секунды?
41.2. Определить постоянные распада λ изотопов радия 21988Ra и
22688Ra.
41.3. Постоянная распада λ рубидия 89Rb равна 0,00077 c-1. Опре-делить его период полураспада T1/2.
41.4. Какая часть начального количества атомов распадется за один год в радиоактивном изотопе тория 228Th?
41.5. Какая часть начального количества атомов радиоактивного актиния 225Ас останется через 5 сут? через 15 сут?
41.6. За один год начальное количество радиоактивного изотопа уменьшилось в три раза. Во сколько раз оно уменьшится за два года?
41.7. За какое время t распадается ¼ начального количества ядер радиоактивного изотопа, если период его полураспада Т1/2=24 ч?
41.8. За время t=8 сут распалось k= ¾ начального количества ядер радиоактивного изотопа. Определить период полураспада T1/2.
41.9. При распаде радиоактивного полония 210Ро в течение времени t= 1ч образовался гелий 4Не, который при нормальных условиях занял объем V=89,5 см3. Определить период полураспада T1/2 поло-ния.
41.10. Период полураспада T1/2 радиоактивного нуклида равен 1 ч. Определить среднюю продолжительность т жизни этого нуклида.
41.11. Какая часть начального количества радиоактивного нуклида распадается за время t, равное средней продолжительности τ жизни этого нуклида?
Активность. Радиоактивное равновесие
41.12. Определить число N атомов, распадающихся в радиоактивном изотопе за время t=10 с, если его активность A=0,1 МБк. Считать активность постоянной в течение указанного времени.
41.13. Активность А препарата уменьшилась в k=250 раз. Скольким периодам полураспада T1/2 равен протекший промежуток времени t?
41.14. За время t=1сут активность изотопа уменьшилась от A1=118 ГБк до A2=7,4 ГБк. Определить период полураспада T1/2 этого нукли-да.
41.15. На сколько процентов снизится активность А изотопа ири-дия 192Ir за время t=30 сут?
41.16. Определить промежуток времени τ, в течение которого ак-тивность А изотопа стронция 90Sr уменьшится в k1=10 раз? в k2= 100 раз?
41.17. Счетчик Гейгера, установленный вблизи препарата радиоактивного изотопа серебра, регистрирует поток β-частиц. При первом измерении поток Ф1 частиц был равен 87 с-1, а по истечении вре-мени t=1 сут поток Ф2 оказался равным 22 с-1. Определить период по-лураспада T1/2 изотопа.
41.18. Определить активность A фосфора 32Р массой m=1 мг.
41.19. Вычислить удельную активность а кобальта 60Со.
41.20. Найти отношение массовой активности a1 стронция 90Sr к массовой активности a2 радия 226Ra.
41.21. Найти массу m1 урана 238U, имеющего такую же активность A, как стронций 90Sr массой m2=мг.
41.22. Определить массу m2 радона 222Rn, находящегося в радиоак-тивном равновесии с радием 226Ra массой m1=l г.
41.23. Уран 234U является продуктом распада наиболее распространенного изотопа урана 238U. Определить период полураспада T1/2 урана 234U, если его массовая доля в естественном уране 238U равна 6*10-5.
41.24. Радиоактивный изотоп 2211Na излучает γ-кванты энергией ε=1,28МэВ. Определить мощность Р гамма-излучения и энергию W, излучаемую за время t=5 мин изотопом натрия массой m=5 г. Считать, что при каждом акте распада излучается один γ-фотон с указанной энергией.
41.25. Точечный изотропный радиоактивный источник создает на расстоянии r = 1м интенсивность I гамма-излучения, равную 1,6 мВт/м2 Принимая, что при каждом акте распада ядра излучается один γ-фотон с энергией ε =1,33 МэВ, определить активность А источника.
41.26. Определить интенсивность I гамма-излучения на расстоянии r = 5 см от точечного изотропного радиоактивного источника, имеющего активность A =148 ГБк Считать, что при каждом акте распада излуча-ется в среднем n =1,8 γ-фотонов с энергией ε = 0,51 МэВ каждый.
Поглощение гамма-излучений*
42.1. Определить число N слоев половинного ослабления, уменьшающих интенсивность I узкого пучка γ-излучения в k =100 раз.
* При решении задач 42.2—42.7 воспользоваться графиком, изображенным на рис. 42.1.
42.2. Определить для бетона толщину слоя половинного ослабления x1/2 узкого пучка γ-излучения с энергией фотонов ε = 0,6 МэВ.
42.3. На какую глубину нужно погрузить в воду источник узкого пучка γ-излучения (энергия ε гамма-фотонов равна 1,6 МэВ), чтобы интенсивность I пучка, выходящего из воды, была уменьшена в k =1000 раз?
42.4. Интенсивность I узкого пучка γ-излучения после прохождения через слой свинца толщиной x = 4 см уменьшилась в k = 8 раз. Определить энергию ε гамма-фотонов и толщину x1/2 слоя поло-винного ослабления.
42.5. Через свинец проходит узкий пучок γ-излучения. При каком значении энергии ε гамма-фотонов толщина x1/2 слоя половинного ос-лабления будет максимальной? Определить максимальную толщину xmax слоя половинного ослабления для свинца.
42.6. Узкий пучок γ-излучения (энергия ε гамма-фотонов равна 2,4 МэВ) проходит через бетонную плиту толщиной x1=l м. Какой толщи-ны x2 плита из чугуна дает такое же ослабление данного пучка γ-излучения?
42.7. Чугунная плита уменьшает интенсивность I узкого пучка γ-излучения (энергия ε гамма-фотонов равна 2,8 МэВ) в k =10 раз. Во сколько раз уменьшит интенсивность этого пучка свинцовая плита такой же толщины?
Элементы дозиметрии
42.8. Какая доля всех молекул воздуха при нормальных условиях ионизируется рентгеновским излучением при экспозиционной дозе Х==258 мкКл/кг?
42.9. Воздух при нормальных условиях облучается γ-излучением. Определить энергию W, поглощаемую воздухом массой m=5 г при экспозиционной дозе излучения Х=258 мк Кл/кг.
42.10. Под действием космических лучей в воздухе объемом V=1 см3 на уровне моря образуется в среднем N=120 пар ионов за проме-жуток времени ∆t = 1 мин. Определить экспозиционную дозу Х излу-чения, действию которого подвергается человек за время t = 1 сут.
42.11. Эффективная вместимость V ионизационной камеры карманного дозиметра равна 1 см3, электроемкость С==2 пФ. Камера со-держит воздух при нормальных условиях. Дозиметр был заряжен до потенциала φ1=150 В. Под действием излучения потенциал понизился до φ2=110 В. Определить экспозиционную дозу Х излучения.
42.12. Мощность Х экспозиционной дозы, создаваемая удаленным источником γ-излучения с энергией фотонов ε = 2 МэВ, равна 0,86 мкА/кг. Определить толщину х свинцового экрана, снижающего мощ-ность экспозиционной дозы до уровня предельно допустимой Х==0,86 нА/кг (см. рис. 42.1).
42.13. На расстоянии l==10 см от точечного источника γ-излучения мощность экспозиционной дозы Х=0,86 мкА/кг. На каком наименьшем расстоянии lmin источника экспозиционная доза излучения Х за рабочий день продолжительностью t=6 ч не превысит предельно допустимую 5,16 мкКл/кг? Поглощением γ-излучения в воздухе пре-небречь.
42.14. Мощность экспозиционной дозы Х гамма-излучения на рас-стоянии r1=40 см от точечного источника равна 4,30 мкА/кг. Опреде-лить время t, в течение которого можно находиться на расстоянии r2=6 м от источника, если предельно допустимую экспозиционную дозу Х принять равной 5,16 мкКл/кг. Поглощением γ-излучения в воздухе пренебречь.
Задачи
43.1. Используя известные значения масс нейтральных атомов 11Н, 21Н, 126С и электрона, определить массы тр протона, тd дейтона, mя ядра 126С.
43.2. Масса mα альфа-частицы (ядро гелия 42Не) равна 4,00150 а. е. м. Определить массу тa нейтрального атома гелия.
43.3. Зная массу ma нейтрального атома изотопа лития 73Li (см. табл. 21), определить массы m1, m2 и m3 ионов лития: однозарядного (73Li)+, двухзарядного (73Li)++ и трехзарядного (73Li)+++.
43.4. Определить дефект массы ∆m и энергию связи Есв ядра атома тяжелого водорода.
43.5. Определить энергию Есв, которая освободится при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро.
43.6. Определить удельную энергию связи Eуд ядра 126С
43.7. Энергия связи Eсв ядра, состоящего из двух протонов и одного нейтрона, равна 7,72 МэВ. Определить массу ma нейтрального атома, имеющего это ядро.
43.8. Определить массу ma нейтрального атома, если ядро этого атома состоит из трех протонов и двух нейтронов и энергия связи Eсв ядра равна 26,3 МэВ.
43.9. Атомное ядро, поглотившее γ-фотон (λ=0,47 пм), пришло в возбужденное состояние и распалось на отдельные нуклоны, разлетевшиеся в разные стороны. Суммарная кинетическая энергия Т ну-клонов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи Есв ядра.
43.10. Какую наименьшую энергию Е нужно затратить, чтобы раз-делить на отдельные нуклоны ядра 73Li и 74Be? Почему для ядра бе-риллия эта энергия меньше, чем для ядра лития?
43.11. Определить энергию Е, которая выделится при образовании из протонов и нейтронов ядер гелия 42Не массой m=1 г.
43.12. Какую наименьшую энергию Е нужно затратить, чтобы ото-рвать один нейтрон от ядра азота 147N?
43.13. Найти минимальную энергию Е, необходимую для удаления одного протона из ядра азота 147N.
43.14. Энергия связи Есв ядра кислорода 188O равна 139,8 МэВ, яд-ра фтора 199F — 147,8 МэВ. Определить, какую минимальную энер-гию Е нужно затратить, чтобы оторвать один протон от ядра фтора.
43.15. Какую наименьшую энергию связи Е нужно затратить, что-бы разделить ядро 42Не на две одинаковые части?
43.16. Определить наименьшую энергию Е, необходимую для раз-деления ядра углерода 126С на три одинаковые части.
Законы сохранения в ядерных реакциях
44.1. Определить порядковый номер Z и массовое число А частицы, обозначенной буквой х, в символической записи ядерной реакции:
146C + 42He -> 178O +x
44.2. То же, для реакции 2713А1 + х —> 11Н + 2612Mg.
44.3. Определить энергию Q ядерных реакций:
1) 94Ве + 21H -> 105B + 10n; 4) 73Li+ 11H -> 74Be + 10n;
2) 63Li + 21H -> 42He + 42He; 5) 4420Ca + 11H -> 4119K + 42He;
3) 73Li + 42He -> 105B + 10n.
Освобождается или поглощается энергия в каждой из указанных реакций?
44.4. Найти энергию Q ядерных реакций:
1) 3H(p,γ) 4He; 2) 2H(d,γ) 4He; 3) 2H(n,γ) 3H; 4) 19F(p,α) 16O.
44.5. При соударении γ-фотона с дейтоном последний может расщепиться на два нуклона. Написать уравнение ядерной реакции и определить минимальную энергию γ-фотона, способного вызывать такое расщепление.
44.6. Определить энергию Q ядерной реакции 9Ве(n,γ) 10Be, если известно, что энергия связи Есв ядра 9Be равна 58,16 МэВ, а ядра 10Be—64,98 МэВ.
44.7. Найти энергию Q ядерной реакции 14N (n, р) 14С, если энергия связи Eсв ядра 14N равна 104,66 МэВ, а ядра 14С — 105,29 МэВ.
44.8. Определить суммарную кинетическую энергию Т ядер, образовавшихся в результате реакции 13С (d,α) 11В, если кинетическая энергия T1 дейтона равна 1,5 МэВ. Ядро-мишень 13С считать неподвижным.
44.9. При ядерной реакции 9Ве(α,n) 12С освобождается энергия Q=5,70 МэВ. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер бериллия и гелия и принимая их суммарный импульс равным нулю, определить кинетические энергии T1 и Т2 продуктов реакции.
44.10. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер дейтерия и принимая их суммарный импульс равным нулю, определить кинетические энергии T1 и T2 и импульсы p1 и р2 продуктов реакции
21H + 21H -> 32He + 10n
44.11. При реакции 6Li(d, p) 7Li освобождается энергия Q=5,028 МэВ. Определить массу т 6Li. Массы остальных атомов взять из табл. 21.
44.12. При реакции 2H(d, p) 3H освобождается энергия Q=4,033 МэВ. Определить массу т атома 3H Массы остальных атомов взять из табл. 21.
44.13. При ядерной реакции 3He (d, p) 4He освобождается энергия Q=18,34 МэВ. Определить относительную атомную массу Ar изотопа гелия 3He. Массы остальных атомов взять из табл. 21.
Реакция деления
44.14. Определить кинетическую энергию Т и скорость v теплового нейтрона при температуре t окружающей среды, равной 27 °С.
44.15. Найти отношение скорости 1 нейтрона после столкновения его с ядром углерода 12C к начальной скорости v1 нейтрона. Найти такое же отношение кинетических энергий нейтрона. Считать ядро углерода до столкновения покоящимся; столкновение — прямым, центральным, упругим.
44.16. Ядро урана , захватив один нейтрон, разделилось на два осколка, причем освободилось два нейтрона. Одним из осколков оказалось ядро ксенона . Определить порядковый номер Z и массовое число A второго осколка.
44.17. При делении одного ядра урана-235 выделяется энергия Q=200 МэВ. Какую долю энергии покоя ядра урана-235 составляет выделившаяся энергия?
44.18. Определить энергию Е, которая освободится при делении всех ядер, содержащихся в уране-235 массой m = 1 г.
44.19. Сколько ядер урана-235 должно делиться за время t = 1 с, чтобы тепловая мощность Р ядерного реактора была равной 1 Вт?
44.20. Определить массовый расход mt ядерного горючего 235U в ядерном реакторе атомной электростанции. Тепловая мощность Р электростанции равна 10 МВт. Принять энергию Q, выделяющуюся при одном акте деления, равной 200 МэВ. КПД электростанции составляет 20 %.
44.21. Найти электрическую мощность Р атомной электростанции, расходующей 0,1 кг урана-235 в сутки, если КПД станции равен 16%.
Энергия радиоактивного распада ядер
44.22. Определить энергию Q альфа-распада ядра полония .
44.23. Покоившееся ядро полония выбросило -частицу с кинетической энергией T = 5,3 МэВ. Определить кинетическую энергию Т ядра отдачи и полную энергию Q, выделившуюся при -распаде.
44.24. Ядро углерода выбросило отрицательно заряженную -частицу и антинейтрино. Определить полную энергию Q бетараспада ядра.
44.25. Неподвижное ядро кремния выбросило отрицательно заряженную -частицу с кинетической энергией Т = 0,5 МэВ. Пренебрегая кинетической энергией ядра отдачи, определить кинетическую энергию T1 антинейтрино.
44.26. Определить энергию Q распада ядра углерода , выбросившего позитрон и нейтрино.
44.27. Ядро атома азота выбросило позитрон. Кинетическая энергия Те позитрона равна 1 МэВ. Пренебрегая кинетической энергией ядра отдачи, определить кинетическую энергию Тv нейтрино, выброшенного вместе с позитроном.
Элементарные частицы.
44.28. Свободный нейтрон радиоактивен. Выбрасывая электрон и антинейтрино, он превращается в протон. Определить суммарную кинетическую энергию Т всех частиц, возникающих в процессе превращения нейтрона. Принять, что кинетическая энергия нейтрона равна нулю и что масса покоя антинейтрино пренебрежимо мала.
44.29. Фотон с энергией = 3 МэВ в поле тяжелого ядра превратился в пару электрон — позитрон. Принимая, что кинетическая энергия частиц одинакова, определить кинетическую энергию Т каждой частицы.
44.30. Электрон и позитрон, имевшие одинаковые кинетические энергии, равные 0,24 МэВ, при соударении превратились в два одинаковых фотона. Определить энергию фотона и соответствующую ему длину волны .
44.31. Нейтральный -мезон (°), распадаясь, превращается в два одинаковых -фотона. Определить энергию фотона. Кинетической энергией и импульсом мезона пренебречь
|
| |
| |
| Massimo | Дата: Понедельник, 18.11.2013, 15:11 | Сообщение # 17 |
|
Полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 183
Репутация: 0
Статус: Offline
| Волны де Бройля
45.1. Определить длину волны де Бройля λ характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость v =1 Мм/с. Сделать такой же подсчет для протона.
45.2. Электрон движется со скоростью v = 200 Мм/с. Определить длину волны де Бройля λ, учитывая изменение массы электрона в зависимости от скорости.
45.3. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля λ была равна 0,1 нм?
45.4. Определить длину волны де Бройля λ электрона, если его кинетическая энергия T = 1 кэВ.
45.5. Найти длину волны де Бройля λ протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: 1) 1 кВ; 2) 1 MB.
45.6. Найти длину волны де Бройля λ для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
45.7. Определить длину волны де Бройля λ, электрона, находящегося на второй орбите атома водорода.
45.8. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля λ электрона равна его комптоновской длине волны λc
45.9. Определить длину волны де Бройля λ электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны λ = 3 нм.
45.10. Электрон движется по окружности радиусом r = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией B = 8 мТл. Определить длину волны де Бройля λ электрона.
45.11. На грань некоторого кристалла под углом α = 60° к ее поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость v электронов, если они испытывают интерференционное отражение первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм.
45.12. Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью v = 1 Мм/с, падает нормально па диафрагму с длинной щелью шириной α = 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии l = 50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние х между первыми дифракционными минимумами.
45.13. Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов U = 30 кВ, падает нормально на тонкий листок золота, проходит через него и рассеивается. На фотопластинке. расположенной за листком на расстоянии l = 20 см от него, получена дифракционная картина, состоящая из круглого центрального пятна и ряда концентрических окружностей. Радиус первой окружности l = 3,4 мм. Определить: 1) угол θ отражения электронов от микрокристаллов золота, соответствующий первой окружности (угол измеряется от поверхности кристалла); 2) длину волны де Бройля λ электронов; 3) постоянную а кристаллической решетки золота.
Фазовая и групповая скорости.
45.14. Прибор зарегистрировал скорость распространения электромагнитного импульса. Какую скорость зарегистрировал прибор — фазовую или групповую?
45.15. Можно ли измерить фазовую скорость?
45.16. Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохроматическими волнами:
ξ1 (x, t) = cos (1002t—3X); ξ2(х,t) =cos (1003t —3,01 x)
Определить фазовые скорости v1 и v2 каждой волны и групповую скорость и волнового «пакета».
45.17. Известно, что фазовая скорость v = ω/k. Найти выражения фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
45.18. Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (в релятивистском случае). Не противоречит ли это постулатам теории относительности?
45.19. Зная общее выражение групповой скорости, найти групповую скорость и волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
45.20. Написать закон дисперсии (т. е. формулу, выражающую зависимость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
45.21. Будут ли расплываться в вакууме волновые пакеты, образованные из волн: 1) электромагнитных; 2) де Бройля?
Соотношение неопределенностей
45.22. Определить неточность Δх в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью v = l,5 •106 м/с, если допускаемая неточность Δv в определении скорости составляет 10 % от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.
45.23. Электрон с кинетической энергией Т = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную неточность Δv, с которой может быть определена скорость электрона.
45.24. Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности Δx ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1 %?
45.25. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность Δp/p импульса этой частицы.
45.26. Используя соотношение неопределенностей ΔxΔpx≥ ħ найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию Е электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.
45.27. Используя соотношение неопределенностей ΔxΔp ≥ ħ оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l ≈ 0,1 нм.
45.28. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.
45.29. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм.
45.30. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический пучок электронов (Т= 10 эВ) падает на щель шириной а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью Δx = α. Оценить получаемую при этом относительную неточность в определении импульса Δр/р электрона в двух случаях: 1) а = 10 нм; 2) a = 0,1 нм.
45.31. Пылинки массой m =10-12 г взвешены в воздухе и находятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки, равна 2 • 103 кг/м3.
45.32. Какой смысл вкладывается в соотношение неопределенностей ΔEΔt ≥ ħ
45.33. Используя соотношение неопределенности ΔEΔt ≥ ħ оценить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время τ жизни атома в возбужденном состоянии равно 10-8 с).
45.34. Оценить относительную ширину Δω/ω спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (τ ≈ 10-8 с) и длина волны излучаемого фотона (λ = 0,6 мкм).
45.35. В потенциальном бесконечно глубоком одномерном ящике энергия Е электрона точно определена. Значит, точно определено и значение квадрата импульса электрона (p2 =2тЕ). С другой стороны, электрон заперт в ограниченной области с линейными размерами l. Не противоречит ли это соотношению неопределенностей?
Уравнение Шредингера
46.1. Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося в водородоподобном атоме.
46.2. Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение равновесия, f = -x (где — коэффициент пропорциональности, х—смещение).
46.3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид
Найти решение уравнения.
46.4. Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении оси Х со скоростью v. Найти решение этого уравнения.
46.5. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой -функции, а о квадрате ее модуля 2?
46.6. Чем обусловлено требование конечности -функции?
46.7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет
вид Обосновать, исходя из этого уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции,— ее непрерывность и непрерывность первой производной от волновой функции.
46.8. Может ли [(x)]2 быть больше единицы?
46.9. Показать, что для -функции выполняется равенство [(x)]2 = (x)*(x), где*(х) означает функцию, комплексно сопряженную (х).
46.10. Доказать, что если -функция циклически зависит от времени
, то плотность вероятности есть функция только координаты.
Одномерный бесконечно глубокий потенциальный ящик
46.11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной l (рис. 46.4). Написать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II (0<x<l).
46.12. Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l: (x) = C1 sin kx + C2 cos kx Используя граничные условия (0)=0 и (l) = 0 определить коэффициент С2 и возможные значения волнового вектора k,
при котором существуют нетривиальные решения.
46.13. Электрону в потенциальном ящике шириной l отвечает волновое число k = n/l (п==1, 2, 3, . . .). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом k, получить выражение для собственных значений энергии Еп.
46.14. Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней En+1,n к энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п = 3;
2) n = 10; 3) п → ∞
Пояснить полученные результаты.
46.15. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,5 им. Определить наименьшую разность E энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.
46.16. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид Используя условия нормировки, определить постоянную С.
46.17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде (x) = C1eikx + C2e-ikx, где . Используя граничные условия и нормировку -функции, определить:
1) коэффициенты C1 и С2; 2) собственные значения энергии En Найти выражение для собственной нормированной -функции.
46.18. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций n(x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид [n(x)]2. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<.х<l) и квантовым числом п. Функцию считать нормированной на единицу.
46.19. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (п = 2). Определить, в каких точках интервала (0 < x < l) плотность вероятности [2(x)]2 нахождения частицы максимальна и минимальна.
46.20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0 < x < l)плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.
46.21. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?
46.22. В одномерном потенциальном ящике шириной l находится электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
46.23. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
46.24. Вычислить отношение вероятностей W1/W2 нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.
46.25. Показать, что собственные функции и ,описывающие состояние частицы в потенциальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е.
46.26. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты <x> электрона (0<x<l).
46.27. Используя выражение энергии En = 2ħ2n2/(ml2) частицы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.
Двух- и трехмерный потенциальный ящик
46.28. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами l = 10 фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре.
46.29. Определить из условия нормировки коэффициент С собственной -функции , описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами l1 и l2-
46.30. Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со стороной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика.
46.31. Определить из условия нормировки коэффициент собственной -функции
, описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бесконечно глубоком ящике со сторонами l1, l2, l3,
Низкий * потенциальный барьер бесконечной ширины
46.32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энергией Е, движущегося в положительном направлении оси Х для областей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U.
46.33. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I и II. Какой смысл имеют коэффициенты A1 и B1 для 1(x) и A2 и B2 для II(x)? Чему равен коэффициент В2?
46.34. Зная решение уравнений Шредингера для областей I и II потенциального барьера
, II(x) = A2eikx определить из условий непрерывности -функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности B1/A1 и A2/A1.
46.35. Зная отношение амплитуд вероятности Для волны, отраженной от барьера, и для проходящей волны, найти выражение для коэффициента отражения и коэффициента прохождения .
46.36. Считая выражение для коэффициента отражения от потенциального барьера и коэффициента прохождения известными, показать, что + = 1.
46.37. Электрон с энергией E = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.
46.38. Определить коэффициент преломления n волн де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени (рис. 46.5). Кинетическая энергия протонов равна 16 эВ, а высота U потенциальной ступени равна 9 эВ.
46.39. Электрон обладает энергией E = 10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость , длина волны де Бройля и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой U = 6 эВ.
46.40. Протон с энергией E = 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1 %. Определить высоту U потенциального барьера.
46.41. На пути электрона с дебройлевской длиной волны 1 = 0,l нм находится потенциальный барьер высотой U = 120 эВ. Определить длину волны де Бройля 2 после прохождения барьера.
46.42. Электрон с энергией E = 100эВ попадает на потенциальный барьер высотой U = 64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера.
46.43. Найти приближенное выражение коэффициента отражения от очень низкого потенциального барьера (U<<E).
46.44. Коэффициент отражения протона от потенциального барьера равен 2,5 • 10-5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии Т падающих на барьер протонов.
46.45. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломления п волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения от него.
46.46. Определить показатель преломления п волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициентом отражения = 0,5.
46.47. При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения = 0,5.?
46.48. Электрон с энергией Е = 10 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель преломления п волн де Бройля и коэффициент отражения численно совпадают.
46.49. Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения и коэффициент прохождения электронов на границе барьера.
46.50. Коэффициент прохождения электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения . Определить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U потенциального барьера.
46.51. Вывести формулу, связывающую коэффициент прохождения электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления п волн де Бройля.
46.52. Коэффициент прохождения протонов через потенциальный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления п волн де Бройля на границе барьера.
46.53. Электрон с кинетической энергией Т движется в положительном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения и коэффициента прохождения на границе потенциальной ступени высотой U (рис. 46.5).
46.54. Найти приближенное выражение для коэффициента прохождения через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия Т частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера.
46.55. Вычислить коэффициент прохождения электрона с энергией E = 100 эВ через потенциальный барьер высотой U = 99, 75 эВ.
46.56. Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность потока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока N электронов, отраженных от барьера, и плотности потока N электронов, прошедших через барьер.
46.57. На низкий потенциальный барьер направлен моноэнергетический поток электронов с плотностью потока энергии J1 = 10Вт/м2. Определить плотность потока энергии J2 а электронов, прошедших барьер, если высота его U = 0,91 эВ и энергия Е электронов в падающем потоке равна 1 эВ.
46.58. Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения = 0,9. Определить отношение J2/J1 плотности потока энергии волны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падающей на барьер.
46.59. На низкий потенциальный барьер падает моноэнергети-ческий поток электронов. Концентрация п0 электронов в падающем потоке равна 109 мм-3, а их энергия E = 100 эВ. Определить давление, которое испытывает барьер, если его высота U = 9,7 эВ.
Высокий * потенциальный барьер бесконечной ширины
46.60. Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси х для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеется потенциальный барьер высотой U.
46.61. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) -функции имеют вид и II(x) = A2e-kx Используя непрерывность -функций и их первых производных на границе барьера, найти отношение амплитуд A2 /A1.
46.62. Написать выражение для II(x) в области II (рис. 46.6) высокого потенциального барьера, если -функция нормирована так, что A1 = 1
46.63. Амплитуда A2 а волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна 2k1 /(k1 +ik) . Установить выражение для плотности вероятности нахождения частицы в области II (x > 0), если энергия частицы равна Е, а высота потенциального барьера равна U.
46.64. Используя выражение для коэффициента отражения от низкой ступени
, где k1 и k2 — волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (T<U).
46.65. Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения
может быть записан в виде
46.66. Определить плотность, вероятности |II (0)|2 нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке х = 0, если энергия электрона равна Е, высота потенциального барьера равна U и -функция нормирована так, что A1 = l.
Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины
46.67. Написать уравнения Шредингера для частицы с энергией Е, движущейся в положительном направлении оси Х для областей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шириной d.
46.68. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I, II и III , пренебрегая волнами, отраженными от границ I — II и II — III , и найти коэффициент прозрачности D барьера.
46.69. Найти вероятность W прохождения электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий U — E = 1 эВ, если ширина барьера: 1) d = 0,1 нм; 2) d = 0,5нм.
46.70. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d = 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электрона на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) E = 10 эВ; 2) E = 100 эВ.
46.71. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U — E =1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в п = 10 раз?
46.72. Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D = 0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см. рис. 46.3).
46.73. При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U — E = 10 эВ.
46.74. Электрон с энергией E движется в положительном направлении оси X. При каком значении U—Е, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D = IO-3, если ширина d барьера равна 0,1 нм?
46.75. Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон пройдет через потенциальный барьер, если его высота U = 10эВ и ширина d = 0,1 нм.
46.76. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d = 0,l нм. При какой разности энергий U — Е вероятность W прохождения электрона через барьер равна 0,99?
46.77. Ядро испускает -частицы с энергией E = 5MeB. В грубом приближении можно считать, что -частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10МэВ и шириной d = 5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для -частиц.
46.78. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности De для электрона и Dp для протона, если высота U барьера равна 20 кэВ и ширина d==0,l пм?
|
| |
| |
| Massimo | Дата: Понедельник, 18.11.2013, 15:11 | Сообщение # 18 |
|
Полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 183
Репутация: 0
Статус: Offline
| 47.1. Уравнение Шредингера в сферической системе координат для электрона, находящегося в водородоподобном атоме, имеет вид
Показать, что это уравнение разделяется на два, если волновую функцию представить в виде произведения двух функций:
где R ® — радиальная и Y ( , ) — угловая функции.
47.2. Уравнение для радиальной R® функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, имеет вид
где , и l — некоторые параметры. Используя подстановку ® = rR® преобразовать его к виду
47.3. Уравнение для радиальной функции ® может быть преобразовано к виду
где ; l — целое число. Найти асимптотические решения уравнения при больших числах r. Указать, какие решения с Е>0 или с E<0 приводят к связанным состояниям.
47.4. Найти по данным предыдущей задачи асимптотическое решение уравнения при малых r.
Указание. Считать при малых r члены и 2/r малыми по сравнению с l(l+1)/r2 Применить подстановку (r}=r.
47.5. Найти решение уравнения для радиальной функции R(г), описывающей основное состояние (l = 0), и определить энергию электрона в этом состоянии. Исходное уравнение для радиальной функции может быть записано в виде
где ; l — орбитальное квантовое число.
Указание. Применить подстановку R ® = еr
47.6. Атом водорода находится в основном состоянии. Собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид ® = Сеr/a, где С—некоторая постоянная. Найти из условия нормировки постоянную С.
47.7. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ®=Сеr/a, где (боровский радиус). Определить расстояние r, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.
47.8. Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой функцией ® = Cer/a Определить отношение вероятностей 1/2 пребывания электрона в сферических слоях толщиной r = 0,01 а и радиусами r1 = 0,5 а и r2=1,5 a.
47.9. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить: 1) вероятность 1 того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу а;
2) вероятность 2 того, что электрон находится вне этой области;
3) отношение вероятностей 2/1. Волновую функцию считать известной:
47.10. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид
, найти среднее расстояние <r> электрона от ядра.
47.11. Принято электронное облако (орбиталь) графически изображать контуром, ограничивающим область, в которой вероятность обнаружения электрона составляет 0,9. Вычислить в атомных единицах радиус орбитали для lsсостояния электрона в атоме водорода. Волновая функция, отвечающая этому состоянию, где — расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах.
Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить графически.
47.12. Волновая функция, описывающая 2s состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где —расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах. Определить: 1) расстояние 1 от ядра, на которых вероятность обнаружить электрон имеет максимум; 2) расстояния 2 от ядра, на которых вероятность нахождения электрона равна нулю; 3) построить графики зависимости [200 ()]2 от и 2 [200()]2 от .
47.13. Уравнение для угловой функции Y( , ) в сферической системе координат может быть записано в виде
где — некоторая постоянная. Показать, что это уравнение можно разделить на два, если угловую функцию представить в виде произведения двух функций: , где — функция, зависящая только от угла ; Ф() — то же, только от угла
47.14. Угловая функция Ф() удовлетворяет уравнению Решить уравнение и указать значения параметра m, при которых уравнение имеет решение.
47.15. Зависящая от угла угловая функция имеет вид Ф() = Ceim Используя условие нормировки, определить постоянную С.
47.16. Изобразить графически угловое распределение плотности вероятности нахождения электрона в атоме водорода, если угловая функция Yl,m( ,) имеет вид: 1) в sсостоянии (l = 0)
2) в pсостоянии (l=1) при трех значениях m: a) m = 1 ;
б) m = 0, , в) m = 1 . Для построений воспользоваться полярной системой координат.
47.17. Угловое распределение плотности вероятности нахождения электрона в атоме водорода определяется видом угловой функции . Показать, что pподоболочка имеет сферически симметричное распределение плотности вероятности. Воспользоваться данными предыдущей задачи.
Орбитальный момент импульса и магнитный момент электрона
47.18. Вычислить момент импульса l орбитального движения электрона, находящегося в атоме: 1) в sсостоянии; 2) в pсостоянии.
47.19. Определить возможные значения проекции момента импульса lz орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного поля. Электрон находится в dсостоянии.
47.20. Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоянии, поглотил квант света с энергией =10,2 эВ. Определить изменение момента импульса l орбитального движения электрона. В возбужденном атоме электрон находится в pсостоянии.
47.21. Используя векторную модель атома, определить наименьший угол ст, который может образовать вектор l момента импульса орбитального движения электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля. Электрон в атоме находится в dсостоянии.
47.22. Электрон в атоме находится в fсостоянии. Найти орбитальный момент импульса l электрона и максимальное значение проекции момента импульса l z max направление внешнего магнитного поля.
47.23. Момент импульса l орбитального движения электрона в атоме водорода равен 1,831034 Джс. Определить магнитный момент l, обусловленный орбитальным движением электрона.
47.24. Вычислить полную энергию Е, орбитальный момент импульса l и магнитный момент l ;электрона, находящегося в 2pсостоянии в атоме водорода.
47.25. Может ли вектор магнитного момента l орбитального движения электрона установиться строго вдоль линий магнитной индукции?
47.26. Определить возможные значения магнитного момента l, обусловленного орбитальным движением электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия возбуждения равна 12,09эВ.
Спиновый момент импульса и магнитный момент электрона
47.27. Вычислить спиновый момент импульса s электрона и проекцию sz этого момента на направление внешнего магнитного поля.
47.28. Вычислить спиновый магнитный момент s электрона и проекцию магнитного момента s z на направление внешнего поля.
47.29. Почему для обнаружения спина электрона в опытах Штерна и Герлаха используют пучки атомов, принадлежащих первой группе периодической системы, причем в основном состоянии?
47.30. Атомы серебра, обладающие скоростью = 0,6 км/с, пропускаются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяженностью l = 6 см пучок расщепляется на два. Определить степень неоднородности дВ/дz магнитного поля, при которой расстояние b между компонентами расщепленного пучка по выходе его из поля равно 3 мм. Атомы серебра находятся в основном состоянии.
47.31. Узкий пучок атомарного водорода пропускается в опыте Штерна и Герлаха через поперечное неоднородное (дВ/дz = 2 кТл/м) магнитное поле протяженностью l = 8 см. Скорость v атомов водорода равна 4 км/с. Определить расстояние b между компонентами расщепленного пучка атомов по выходе его из магнитного поля. Все атомы водорода в пучке находятся в основном состоянии.
47.32. В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов цезия (в основном состоянии) проходит через поперечное неоднородное магнитное поле и попадает на экран Э (рис. 47.1). Какова должна быть степень неоднородности дВ/дz магнитного поля, чтобы расстояние b между компонентами расщепленного пучка на экране было равно 6 мм? Принять l1 = l2 = 10cм. Скорость атомов цезия равна 0,3 км/с.
47.33. Узкий пучок атомов рубидия (в основном состоянии) пропускается через поперечное неоднородное магнитное поле протяженностью l = 10 см (рис.47.1). На экране Э, отстоящем на расстоянии l2 = 20 см от магнита, наблюдается расщепление пучка на два. Определить силу Fz, действующую на атомы рубидия, если расстояние b между компонентами пучка на экране равно 4 мм и скорость v атомов равна 0,5 км/с.
47.34. Узкий пучок атомов серебра при прохождении неоднородного (дВ/дz = 1кТл/м) магнитного поля протяженностью l1 = 4 см расщепился на два пучка. Экран для наблюдения удален от границы магнитного поля на расстояние l2 = 10 см (рис. 47.1). Определить (в магнетонах Бора) проекции J, r магнитного момента атома на направление вектора магнитной индукции, если расстояние b между компонентами расщепленного пучка на экране равно 2 мм и атомы серебра обладают скоростью v = 0,5км/c.
Застройка электронных оболочек
47.35. Какое максимальное число s, p и dэлектронов может находиться в электронных К, L и М слоях атома?
47.36. Используя принцип Паули, указать, какое максимальное число Nmax электронов в атоме могут иметь одинаковыми следующие квантовые числа: 1) п, l, т, тs', 2) п, l, т; 3) п, l; 4) п.
47.37. Заполненный электронный слой характеризуется квантовым числом n = 3. Указать число N электронов в этом слое, которые имеют одинаковые следующие квантовые числа: 1) ms =+ 1/2;
2) m = 2; 3) тs = 1/2 и т= 0; 4) ms = + 1/2 и l=2.
47.38. Найти число N электронов в атомах, у которых в основном состоянии заполнены: 1) К и L слои, Зsоболочка и наполовину Зpоболочка; 2) К,, L и Мслои и 4s, 4p и 4dоболочки. Что это за атомы?
47.39. Написать формулы электронного строения атомов: 1) бора; 2) углерода; 3) натрия.
Векторная модель атома. Спектральные термы
47.40. Как можно согласовать использование векторной модели атома с соотношением неопределенностей для проекций момента импульса?
47.41. Электрон в атоме водорода находится в pсостоянии. Определить возможные значения квантового числа j и возможные значения (в единицах ħ) полного момента импульса j, электрона. Построить соответствующие векторные диаграммы.
47.42. В возбужденном атоме гелия один из электронов находится в pсостоянии, другой в dсостоянии. Найти возможные значения полного орбитального квантового числа L и соответствующего ему момента импульса L. (в единицах ħ). Построить соответствующие векторные диаграммы.
47.43. Определить угол между орбитальными моментами импульсов двух электронов, один из которых находится в dсостоянии, другой — в fсостоянии, при следующих условиях: 1) полное орбитальное квантовое число L = 3; 2) искомый угол — максимальный;
3) искомый угол—минимальный.
47.44. Система из трех электронов, орбитальные квантовые числа l1, l2, l3 которых соответственно равны 1, 2, 3, находятся в Sсостоянии. Найти угол 1, 2 между орбитальными моментами импульса первых двух электронов.
47.45. Каковы возможные значения полного момента импульса j электрона, находящегося в dсостоянии? Чему равны при этом углы между спиновым моментом импульса и орбитальным?
47.46. Спиновый момент импульса двухэлектронной системы определяется квантовым числом S = 1. Найти угол между спиновыми моментами импульса обоих электронов.
47.47. Система, состоящая из двух электронов, находится в состоянии с L = 2. Определить возможные значения угла между орбитальным моментом импульса pэлектрона и полным орбитальным моментом импульса J системы.
47.48. Найти возможные значения угла между спиновым моментом импульса и полным моментом: 1) одноэлектронной системы, состоящей из dэлектрона; 2) двухэлектронной системы с J = 2.
47.49. Определить возможные значения (в единицах ħ) проекции sz спинового момента импульса электронной системы, находящейся в состоянии 3D3, на направление полного момента.
47.50. Определить возможные значения квантового числа J электронной системы, для которой: 1) S = 2 и L = 1; 2) S = 1 и L = 3. Найти (в единицах ħ) возможные значения полного момента импульса J системы и построить соответствующие векторные диаграммы.
47.51. Определить возможные значения квантового числа J, соответствующего полному моменту импульса s электронной системы, у которой L = 3, a S принимает следующие значения: 1) 3/2; 2) 2; 3) 5/2; 4) 4. Построить соответствующие векторные диаграммы.
47.52. Записать основные термы для следующих атомов: 1) H; 2) Не; 3) Be; 4) Li; 5) В.
47.53. Перечислить возможные термы для следующих состояний атомов: 1) 2S; 2) 2P; 3) 4P; 4) 5D.
47.54. Определить кратности вырождения следующих термов:
1) 2D3/2; 2) 3F2 3) 1F.
47.55. Объяснить на основе векторной модели атома наличие двух систем термов (синглетных и триплетных) в атомах с двумя валентными электронами.
47.56. Определить возможные мультиплетности (2S+1) термов следующих атомов: 1) Li; 2) Be; 3) В; 4) С; 5) N.
47.57. Выписать все возможные термы для комбинации р и dэлектронов по типу связи Рассель — Саундерса. Дать их спектральные обозначения.
Магнитный момент атома. Атом в магнитном поле
47.58. Вычислить множитель Ланде g для атомов с одним валентным электроном в состояниях S и Р.
47.59. Вычислить множитель Ланде g для атомов, находящихся в синглетных состояниях.
47.60. Определить магнитный момент J атома в состоянии 1D. Ответ выразить в магнетонах Бора (в).
47.61. Вычислить магнитный момент J атома в состоянии 3P2. Ответ выразить в магнетонах Бора.
47.62. Атом находится в состоянии 2D3/2. Найти число возможных проекций магнитного момента на направление внешнего поля и вычислить (в магнетонах Бора) максимальную проекцию Jz max
47.63. Вычислить в магнетонах Бора магнитный момент J атома водорода в основном состоянии.
47.64. Атом находится в состоянии 1/F. Найти соответствующий магнитный момент Jz и возможные значения его проекции Jz на направление внешнего магнитного поля.
47.65. Максимальная проекция J, z max магнитного момента атома, находящегося в состоянии 2D, составляет четыре магнетона Бора. Определить мультиплетность (2S+1) соответствующего терма.
47.66. На сколько составляющих расщепляется в опыте Штерна и Герлаха пучок атомов, находящихся в состояниях: 1) 2P3/2, 2) 1D; 3) 5F1.
47.67. Определить максимальные проекции J, z max магнитных моментов атомов ванадия (4F), марганца (6S) и железа (5D), если известно, что пучки этих атомов при прохождении через сильно неоднородное магнитное поле по методу Штерна и Герлаха расщепляются соответственно на 4, 6 и 9 составляющих. (В скобках указаны состояния, в которых находятся атомы.)
47.68. Вычислить частоты л ларморовой прецессии электронных оболочек атомов: 1) в магнитном поле Земли (B = 5105 Тл);
2) в поле, магнитная индукция В которого равна 50 Тл.
47.69. Найти угловую скорость ю прецессии магнитных моментов атомов, помещенных в магнитном поле (В = 10мТл) в случае, когда атомы находятся в состояниях: 1) 1P; 2) 1P3/2.
47.70. Определить максимальную энергию Umax магнитного взаимодействия атома, находящегося в состоянии 1D с магнитным полем, индукция которого: 1) .6=1 Тл; 2) В=50 Тл. Ответ выразить в электронвольтах.
Эффект Зеемана
47.71. Какое магнитное поле в случае эффекта Зеемана следует считать: 1) «слабым», 2) «сильным»?
47.72. Состояния атома характеризуются двумя спектральными термами. Указать квантовые числа S, L и возможные значения квантового числа J для состояний: 1) 1S и 1P; 2) 1S и 1F. Изобразить для
этих состояний схему энергетических уровней при отсутствии магнитного поля.
47.73. Состояние атома характеризуется двумя спектральными термами. Указать возможные значения квантового числа J для состояний: 1) 2S и 2P; 2) 3P и 2D 3) 3S и 3D. Изобразить для этих состояний схему энергетических уровней с учетом спинорбитального взаимодействия (естественного мультиплетного расщепления) при отсутствии магнитного поля.
47.74. Определить возможные значения квантового числа тJ и изобразить на схеме расщепление энергетических уровней атома в магнитном поле для состояний, определяемых спектральными термами: 1) 2S; 2) 2P3/2; 3) 2D5/2; 4) 1F.
47.75. Построить схему возможных энергетических переходов в слабом магнитном поле между состояниями атома, определяемыми следующими термами: 1) 2P1/2 2S; 2) 2P3/2 2S 3)2D3/2 2P3/2
47.76. Вычислить смещение спектральных линий при сложном (аномальном) эффекте Зеемана в случае перехода атома из состояния, определяемого термом 2P1/2, в состояние — 2S1/2. В качестве единицы смещения принять нормальное (лоренцово) смещение = (B/ħ)B.
Колебательный спектр двухатомной молекулы
48.1. Изобразить графически зависимость 0(х) и [0(x)]2 Для нулевой собственной волновой функции осциллятора.
48.2. Используя условие нормировки, определить нормировочный множитель С0 нулевой собственной волновой функции осциллятора.
48.3. Рассматривая молекулу как квантовый гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии (n = 0), найти амплитуду А классических колебаний, выразив ее через параметр .
48.4. Гармонический осциллятор находится в основном состоянии (n = 0). Какова вероятность W обнаружения частицы в области (—A<x<A}, где А — амплитуда классических колебаний?
48.5. Определить среднюю потенциальную энергию {U(x)} гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии, выразив ее через нулевую энергию Е0.
48.6. Собственная круговая частота со колебаний молекулы водорода равна 8,081014 с1. Найти амплитуду А классических колебаний молекулы.
48.7. Зная собственную круговую частоту со колебаний молекулы СО ( = 4,081014 с1), найти коэффициент квазиупругой силы.
48.8. Определить энергию Евозб возбуждения молекулы НС1 с нулевого колебательного энергетического уровня на первый, если известны собственная круговая частота =5,631014 с1и коэффициент ангармоничности = 0,0201.
48.9. Определить число N колебательных энергетических уровней, которое имеет молекула НВг, если коэффициент ангармоничности = 0,0208.
48.10. Во сколько раз отличаются максимальная и минимальная (отличная от нуля) разности двух соседних энергетических уровней для молекулы Н2( = 0,0277)?
48.11. Определить максимальную колебательную энергию Еmax молекулы О2, для которой известны собственная круговая частота = 2,981014 с1 и коэффициент ангармоничности = = 9,46103.
48.12. Определить энергию диссоциации D (в электронвольтах) молекулы СО, если ее собственная частота = 4,081014 с1 и коэффициент ангармоничности = 5,83103. Изобразить на потенциальной кривой схему колебательных энергетических уровней и отметить на ней энергию диссоциации.
48.13. Найти коэффициент ангармоничности молекулы N2, если ее энергия диссоциации D = 9,80эВ и собственная круговая частота ( = 4,451014 с1. На потенциальной кривой изобразить схему энергетических уровней молекулы и отметить на ней энергию диссоциации.
48.14. Молекула NO переходит из низшего возбужденного состояния в основное. Определить длину волны испущенного при этом фотона, если собственная круговая частота =3,591014 с1 и коэффициент ангармоничности = 8,7310~3. На потенциальной кривой изобразить схему колебательных энергетических уровней молекулы и отметить на ней соответствующий энергетический переход.
Вращательный спектр двухатомной молекулы
48.15. Найти момент импульса двухатомной молекулы, соответствующий низшему возбужденному состоянию.
48.16. Определить изменение момента импульса двухатомной молекулы при переходе ее с первого вращательного уровня на второй.
48.17. Определить угловую скорость вращения молекулы S2, находящейся на первом возбужденном вращательном уровней Межъядерное расстояние d =189 пм.
48.18. Вычислить вращательную постоянную В для молекулы СО, если межъядерное расстояние d = 113 пм. Ответ выразить в миллиэлектронвольтах.
48.19. Найти момент импульса молекулы кислорода, вращательная энергия Е¥ которой равна 2,16 мэВ.
48.20. Найти момент инерции J и межъядерное расстояние d молекулы СО, если интервалы E между соседними линиями чисто вращательного спектра испускания молекул СО равны 0,48 мэВ.
48.21. Определить для молекулы НС1 вращательные квантовые числа ¥ двух соседних уровней, разность энергий Е¥+1, ¥, которых равна 7,86 мэВ.'
48.22. Для молекулы N2 найти: 1) момент инерции J, если межъядсрное расстояние d = =110пм; 2) вращательную постоянную В; 3) изменение |E| энергии при переходе молекулы с третьего вращательного энергетического уровня на второй. Относительная атомная масса AN= =14.
48.23. Для молекулы O2 найти: 1)приведенную массу ; 2) межъядерное расстояние d, если вращательная постоянная В = 0,178 мэВ; 3) угловую скорость вращения, если молекула находится на первом вращательном энергетическом уровне. Относительная атомная масса Aо= =16.
48.24. Для молекулы NO найти: 1) момент инерции J молекулы, если межъядерное расстояние d = 115 пм; 2) вращательную постоянную В молекулы; 3) температуру Т, при которой средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна энергии, необходимой для ее возбуждения на первый вращательный энергетический уровень. Относительные атомные массы AN и AO равны соответственно 14 и 16.
48.25. Установить числовое соотношение между энергией излучения и спектроскопическим волновым числом ύ.
48.26. Найти расстояние d между ядрами молекулы СН, если интервалы ύ между соседними линиями чисто вращательного спектра испускания данной молекулы равны 29 см1.
48.27. Определить, на сколько изменится импульс молекул азота при испускании спектральной линии с длиной волны = 1250 мкм, которая принадлежит чисто вращательному спектру.
48.28. Длины волн 1 и 1 двух соседних спектральных линии в чисто вращательном спектре молекулы НС1 соответственно равны 117 и 156 мкм. Вычислить вращательную постоянную (см1) для молекулы НС1.
48.29. Будет ли монохроматическое электромагнитное излучение с длиной волны = 3 мкм возбуждать вращательные и колебательные уровни молекулы HF, находящейся в основном состоянии?
48.30. Определить кратность вырождения энергетического уровня двухатомной молекулы с вращательным квантовым числом ¥.
|
| |
| |
| Massimo | Дата: Понедельник, 18.11.2013, 15:12 | Сообщение # 19 |
|
Полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 183
Репутация: 0
Статус: Offline
| Элементарная ячейка. Параметры решетки
49.1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку 1) примитивной решетки кубической сингонии; 2) объемноцентрированной решетки ромбической сингонии; 3) гранецентрированной решетки кубической сингонии; 4) базоцентрированной решетки ромбической сингонии; 5) примитивной решетки гексагональной сингонии; 6) гексагональной структуры с плотной упаковкой.
49.2. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом V=1 м3: 1) хлористого цезия (решетка объемноцентрированная кубической сингонии); 2) меди (решетка гранецентрированная кубической сингонии); 3) кобальта, имеющего гексагональную структуру с плотной упаковкой.
49.3. Найти плотность кристалла неона (при 20 К), если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная а решетки при той же температуре равна 0,452 нм.
49.4. Найти плотность р кристалла стронция, если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии, а расстояние d между ближайшими соседними атомами равно 0,43 нм.
49.5. Определить относительную атомную массу Аr кристалла, если известно, что расстояние d между ближайшими соседними атомами равно 0,304 нм. Решетка объемноцентрированная кубической сингонии. Плотность кристалла равна 534 кг/м3.
49.6. Найти постоянную а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла: 1) алюминия (решетка гранецентрированная кубической сингонии); 2) вольфрама (решетка объемноцентрированная кубической сингонии).
49.7. Используя метод упаковки шаров, найти отношение с/а параметров в гексагональной решетке с плотнейшей упаковкой. Указать причины отклонения этой величины в реальном кристалле от вычисленного.
49.8. Определить постоянное а и с решетки кристалла магния, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Плотность р кристаллического магния равна 1,74103 кг/м3. .
49.9. Вычислить постоянную а решетки кристалла бериллия, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Параметр а решетки равен 0,359 нм. Плотность кристалла бериллия равна 1,82103 кг/м3.
49.10. Найти плотность р кристалла гелия (при температуре Т=2 К), который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Постоянная а решетки, определенная при той же температуре, равна 0,357, нм. Индексы узлов, направлений и плоскостей
49.11. Определить индексы узлов, отмеченных на рис. 49.7 буквами А, В, С, D.
49.12. Написать индексы направления прямой, проходящей в кубической решетке через начало координат и узел с кристаллографическими индексами, в двух случаях: 1) [[242]]; 2) [[112]].
49.13. Найти индексы направлений прямых АВ, CD, KL, изображенных на рис. 49.8, а, б, в.
49.14. Написать индексы направления прямой, проходящей через два узла с кристаллографическими индексами (в двух случаях): 1) [[123]] и [[321]]; 2) [[121]] и [[201]].
49.15. Вычислить период l идентичности вдоль прямой [111] в решетке кристалла NaCI, если плотность кристалла равна 2,17103 кг/м3.
49.16. Вычислить угол между двумя направлениями в кубической решетке кристалла, которые заданы кристаллографическими индексами [110] и [111].
49.17. Написать индексы Миллера для плоскостей в примитивной кубической решетке, изображенных на рис. 49.9, а — е.
Рис. 49.9
49.18. Плоскость проходит через узлы [[10011, [[010]], [[001]] кубической решетки. Написать индексы Миллера для этой плоскости.
49.19. Система плоскостей в примитивной кубической решетке задана индексами Миллера (221). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и изобразить эту плоское графически.
49.20. Направление нормали к некоторой плоскости в кубической решетке задано индексами [110]. Написать индексы Миллера для этой плоскости и указать наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях.
49.21. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами, в двух случаях: 1) [[111]], [[112]], [[101]]; 2) [[111]], [[010]], [[111]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.
49.22. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (111). Определить расстояние d между соседними плоскостями, если параметр а решетки равен 0,3 нм.
49.23. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, заданных индексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измерении, оказалось равным 0,12 нм.
49.24. Три системы плоскостей в примитивной кубической решетке заданы индексами Миллера: а) (111); б) (110); в) (100). Указать, для какой системы межплоскостные расстояния d минимальны и для какой системы — максимальны. Определить отношения межплоскостных расстояний d111 : d110 : d100.
49.25. Вычислить угол между нормалями к плоскостям (в кубической решетке), заданных индексами Миллера (111) и (111).
49.26. Две плоскости в кубической решетке заданы индексами Миллера (010) и (011). Определить угол между плоскостями.
49.27. В кубической решетке направление прямой задано индексами [011]. Определить угол между этой прямой и плоскостью (111).
49.28. Определить в кубической решетке угол между прямой [111] и плоскостью (111).
49.29. Плоскость в кубической решетке задана индексами Миллера (011), направление прямой — индексами [111]. Определить угол между прямой и плоскостью.
Классическая теория теплоёмкости
50.1. Вычислить удельные теплоемкости с кристаллов алюминия и меди по классической теории теплоемкости;
50.2. Пользуясь классической теорией" вычислить удельные теплоемкости с кристаллов NaCI и CaСl2.
50.3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоёмкость С кристалла бромида алюминия AlBr3 объемом V=1м³. Плотность кристалла бромида алюминия равна 3,0110³ кг/м³.
50.4. Определить изменение U внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t=0°С до t2=ЗОО°С. Масса m кристалла равна 20г. Теплоёмкость С вычислить.
50.5. Вывести формулу для средней энергии классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить значение при Т=300К.
50.6. Определить энергию U и теплоемкость С системы, состоящей из N=1025 классических трёхмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура Т=300К.
Указание. Использовать результат решений задачи 50.5.
Теория теплоёмкости Эйнштейна
50.7. Определить: 1)среднюю энергию линейного одномерного квантового осциллятора, при температуре Т=E (E =200К); 2)энергию U системы, состоящей из N=1025 квантовых трехмерных независимых осцилляторов, при температуре Т=E (E =300К).
50.8. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура E серебра равна 165К.
50.9. Во сколько раз изменится средняя энергия квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от Т1=E/2 до Т2=E? Учесть нулевую энергию.
50.10. Определить отношение /T средней энергий квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре Т=E.
50.11. Используя квантовую теорию теплоёмкости Эйнштейна, вычислить изменение Um молярной внутренней энергий кристалла при нагревании его на Т=2К от температуры Т=E/2.
50.12. Пользуясь теорией теплоёмкости Эйнштейна, определить изменение Um молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т1=0,1E. Характеристическую температуру E Эйнштейна принять для данного Кристалла равной 300К.
50.13. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислений теплоемкости С вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при Т=E), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
50.14. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию Um0 кристалла цинка. Характеристическая температура E для цинка равна 230К.
Теория теплоёмкости Дебая
50.15. Рассматривая в дебаевском приближений твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн установить функцию распределения частот g() для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N число атомов в рассматриваемом объеме).
50.16. Зная функцию распределения частот для трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
50.17. Используя формулу энергии трехмерного кристалла , получить выражение для молярной теплоёмкости.
50.18. Молярная теплоемкость трехмерного кристалла . Найти предельное выражение молярной теплоёмкости при низких температурах (D).
50.19. Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию Um,0 кристалла меди. Характеристическая температура D меди равна 320К.
50.20. Определить максимальную частоту max собственных колебаний в кристалле золота по теорий Дебая. Характеристическая температура D равна 180К.
50.21. Вычислить максимальную частоту max Дебая, если известно, что молярная теплоемкость Сm серебра при Т=20К равна 1,7Дж/(моль•К).
50.22. Найти отношение изменения Um внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до =0,1 D к нулевой энергий U0. Считать Т<<D.
50.23. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение Um молярной внутренней энергий кристалла при нагревании его от нуля до T=0,lD. Характеристическую температуру D Дебая принять для данного кристалла равной 300К. Считать Т<<D.
50.24. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислите изменение Um молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на Т=2К от температуры Т=D/2.
50.25. При нагреваний серебра массой от m=10г от Т1=10К до Т2=2ОК было подведено Q=0,7lДж теплоты. Определить характеристическую температуру D Дебая серебра. Считать Т<<D.
50.26. Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при Т=D), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
50.27. Найти отношение E/D характеристических температур Эйнштейна и Дебая.
Указание. Использовать выражения для нулевых энергий, вычисленных по теориям Эйнштейна и Дебая.
50.28. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и Поперечных стоячих воли, установить функцию распределение частот для кристалла с двухмерной решеткой (т. е. кристалла, состоящего из невзаимодействующих слоев). При выводе принять, что число собственных колебаний ограничено и равно 3N (N число атомов в рассматриваемом объеме).
50.29. Зная функцию распределения частот для кристалла с двухмерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергий U кристалла, содержащего N (равное постоянной Авогадро) атомов.
50.30. Получить выражение для молярной теплоемкости Cm, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двухмерной решеткой:
50.31. Молярная теплоемкость кристалла с двухмерной решеткой выражается формулой . Найти предельное выражение молярной теплоёмкости кристалла при низких температурах (Т<<D).
50.32. Вычислить молярную Внутреннюю энергию Um кристаллов с двухмерной решеткой, если характеристическая температура D Дебая равна 350К.
50.33. Рассматривая в дебаевcком приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g() для кристалла с одномерной решеткой (т. е. кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом). При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N число атомов в рассматриваемом объеме).
50.34. Зная функцию распределения частот g()=3N/max для кристалла с одномерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергий кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
50.35. Получить выражение для молярной теплоемкости, используя формулу для молярной внутренней энергий кристалла с одномерной решеткой:
50.36. Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решеткой выражается формулой . Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (Т<<D).
50.37. Вычислить молярную нулевую энергию Umax кристалла с одномерной решеткой, если характеристическая температура D Дебая равна 300К.
Теплопроводность неметаллов. Фононы.
50.38 Вода при температуре t1=0°С покрыта слоем льда толщиной h=50см. Температура t1 воздуха равна 30°С. Определить количество теплоты Q, переданное водой за время =1ч через поверхность льда площадью S=1м². Теплопроводность льда равна 2,2Вт/(м•К).
50.39. Какая мощность N требуется для того чтобы поддерживать температуру t1=100°C; в термостате, площадь S поверхности которого равна 1,5 м² толщина h изолирующего слой равна 2см и внешняя температура t=20°C?
50.40. Найти энергию фонона, соответствующего максимальной частоте max Дебая, если характеристическая температура D Дебая равна 250К.
50.41. Определить квазиимпульс фонона, соответствующего частоте =0,1/max. Усредненная скорость звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура D Дебая равна 100К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.
50.42. Длина волны фонона, соответствующего частоте =0,01/max, равна 52нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру D Дебая, если усредненная скорость звука в кристалле равна 4,8км/с.
50.43. Вычислить усредненную скорость фононов (скорость звука) в серебре. Модули продольной Е и поперечной G упругость, а также плотность серебра считать известными.
50.44. Характеристическая температура D Дебая для вольфрама равна 310К. Определить длину волны фононов, соответствующих частоте ν=0,lνmax. Усредненную скорость звука в вольфраме вычислить. Дисперсией волн в кристалле пренебречь.
50.45. Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен 0,3нм. Определить максимальную энергию max фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость звука в кристалле равна 5км/с.
50.46. Определить усредненную скорость звука в кристалле, характеристическая температура которого равна 300К. Межатомное расстояние d в кристалле равно 0,25нм.
50.47. Вычислить среднюю длину свободного пробега фононов в кварце SiO2 при некоторой температуре, если при той же температуре теплопроводность 13Вт/(м•К), молярная теплоемкость С=44Дж/(моль•К) и усредненная скорость звука равна 5км/с. Плотность кварца равна 2,65•³кг/м³.
50.48. Найти отношение средней длины (1) свободного пробега фононов к параметру d решетки при комнатной температуре в кристалле NaCI, если теплопроводность при той же температуре равна 71Вт/(м•К). Теплоемкость вычислить по закону Неймана–Коппа. Относительные атомные массы: АNa=23, АCl=35,5; плотность кристалла равна 2,l7•³кг/м³. Усредненную скорость звука принять равной 5км/с.
50.49. Вычислить фононное давление р в свинце при температуре Т=42,5К. Характеристическая температура D Дебая свинца равна 85К.
50.50. Определить фононное давление р в меди при температуре Т=D, если D=320К.
Эффект Мёссбауэра
50.51. Исходя из законов сохранения энергии и импульса при испускании фотона движущимся атомом, получить формулу доплеровского смещения для нерелятивистского случая.
50.52. Вычислить энергию R, которую приобретает атом вследствие отдачи, в трех случаях: 1) при излучении в видимой части спектра (500нм); 2) при рентгеновском излучений (=0,5нм); 3) при гаммаизлучении (=5•10ˉ³нм). Массу mа атома во всех случаях считать одинаковой и равной 100 а.е.м.
50.53. Уширение спектральной линии излучения атома обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределённостей. Кроме того, вследствие отдачи атома происходит смещение спектральной линии. Оценить для атома водорода относительные изменения (/) длины волны излучения, обусловленные каждой из трех причин. Среднюю скорость теплового движения атома принять равной
3 км/с, время жизни атома в возбужденном состоянии10нс, энергию излучений атома 10 эВ.
50.54. При испускании фотона свободным ядром происходит смещение и уширений спектральной линии. Уширение обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей, а смещение явлением отдачи. Оценить для ядра 57Fe относительные изменения (/) частоты излучения, обусловленные каждой из трех причин. При расчётах принять среднюю скорость ядра (обусловленную тепловым движением) равной 300м/с, время жизни ядра в возбужденном состоянии 100нс и энергию гаммаизлучения равной 15кэВ,
50.55. Найти энергий Е возбуждения свободного покоившегося ядра массы mя, которую они приобретает в результате захвата гаммафотона с энергией .
50.56. Свободное ядро 40К испустило гаммафотон с энергией =30кэВ. Определить относительное смещение / спектральной линии, обусловленное отдачей ядра.
50.57. Ядро 67Zn с энергией возбуждения Е=93кэВ перешло в основное состояние, испустив гаммафотон. Найти относительное изменение /, энергий гаммафотона, возникающее вследствие отдачи свободного ядра.
50.58. Энергия связи Есв атома, находящегося в узле кристаллической решетки, составляет 20эВ. Масса mа атома равна 80 а.е.м. Определить минимальную энергию гаммафотона, при испусканий которого атом вследствие отдачи может быть вырван из узла решетки.
50.59. Энергия возбуждения Е ядра 191Ir равна 129кэВ. При какой скорости сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 191Ir) можно вследствие эффекта Доплера скомпенсировать сдвиг полос поглощения и испускания, обусловленных отдачей ядер?
50.60. Источник и поглотитель содержат свободные ядра 83Кr. Энергия возбуждения Е ядер равна 9,3кэВ. Определить скорость сближения источника и поглотителя, при которой будет происходить резонансное поглощение гаммафотона.
50.61. Источник и поглотитель содержат ядра 161Dу. Энергия возбуждения Е ядер равна 26кэВ, период полураспада Т½=28нс. При какой минимальной скорости max сближения источника и поглотителя нарушается мёссбауэровское поглощение гаммафотона?
50.62. При скорости сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 153Еr, равной 10мм/с, нарушается мёссбауэровское поглощение гаммафотона с энергией =98кэВ. Оценить по этим данным среднее время жизни возбужденных ядер 153Еr.
50.63. Источник гаммафотонов расположен над детекторомпоглотителем на расстояний l=20м. С какой скоростью необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения детектора было полностью скомпенсировано изменение энергии гаммафотонов, обусловленное их гравитационным взаимодействием с Землей?
Тепловое расширение твердых тел
50.64. Найти коэффициент объемного расширения для анизотропного кристалла, коэффициенты линейного расширений которого по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют 1=1,25•10‾5К‾¹; 2=1,01•10‾5К‾¹; 3=1,5•10‾5К‾¹.
50.65. Вычислить максимальную силу Fmax, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармоничности =50Н/м, а коэффициент ангармоничности =500ГПа.
50.66. Определить силу F (соответствующую максимальному смещению), возвращающую атом в положение равновесия, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5 от среднего межатомного расстояний при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гармоничности =50Н/м, коэффициент ангармоничности =500ГПа, среднее межатомное расстояние rо=0,4нм.
50.67. Каково максимальное изменение Пmax потенциальной энергии атомов в кристаллической решётке твердого тела при гармонических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5 от среднего межатомного расстояния? Среднее расстояние rо, между атомами принять равным 0,3Нм, модуль Юнга Е=100ГПа.
50.68. Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука F(х)=х, то тепловое расширение отсутствует.
50.69. Определить коэффициент гармоничности в уравнении колебаний частиц твёрдого тела, если равновесное расстояние rо между частицами равно 0,3нм,, модуль Юнга Е=200ГПа.
50.70. Оценить термический коэффициент расширения твердого тела, считая, что коэффициент ангармоничности /(2/rо). При оценке принять: модуль Юнга Е=100ГПа, межатомное расстояние rо=0,3нм.
50.71. Вычислить коэффициент ангармоничности для железа, если температурный коэффициент линейного расширения =1,2•10‾5К‾1,межатомное расстояние rо=0,25нм, модуль Юнга Е=200ГПа.
50.72. Определить, на сколько процентов изменится межатомное расстояние в твердом теле (при нагревании его до Т=400К) по сравнению с равновесным расстоянием rо=0,3нм. Отвечающим минимуму потенциальной энергии. При расчётах принять /(2/rо), модуль Юнга Е=10ГПа.
50.73. Оценить термический коэффициент расширения твердого тела, обусловленного фононным давлением (в области Т<<D). При оценке принять: плотность кристалла равной 104кг/м3, модуль Юнга Е=100ГПа, относительную атомную массу Аг=60.
Электроны в металле. Распределение ФермиДирака
51.1. Определить концентрацию n свободных электронов в металле при температуре Т=0К. Энергию Ферми принять равной 1эВ.
51.2. Определить отношение концентраций n1/n2 свободных электронов при Т=0 в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны ƒ,1=4,72эВ, ƒ,2=1,53эВ.
51.3. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т=0К. Уровень Ферми ƒ для Натрия равен 3,1эВ. Плотность натрия равна 970кг/м³.
51.4. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т=0, больше в алюминий, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны ƒ,1=11,7эВ, ƒ,2=7,0эВ?
51.5. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале Δ=0,05эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур:1) T1=290K; 2)Т2=58К.
51.6. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при температуре Т=0К, если уровень Ферми ƒ=7эВ.
51.7. Металл находится при температуре Т=0К. Определить, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от ƒ/2 до ƒ больше числа электронов с энергией от 0 до ƒ/2.
51.8. Электроны в металле находятся при температуре Т=0К. Найти относительное число ΔN/N свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергий Ферми не более чем на 2 .
51.9. Оценить температуру Ткр вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия 860 кг/м3.
51.10. Определить отношение концентрации nmax электронов в металле (при Т=0К), энергия которых отличается от максимальной не более чем на Δ, к концентраций nmin электронов, энергий которых не превышают значения =Δ; Δ принять равным 0,01.
51.11. Зная распределение dn() электронов в металле по энергиям, установить распределение dn(р) электронов по импульсам. Найти частный случай распределения при Т=0К.
51.12. По функций распределения dn(р) электронов в металле по импульсам установить распределение dn() по скоростям: 1)при любой температуре Т; 2)при Т=ОК.
51.13. Определить максимальную скорость max электронов в металле при Т=0К, если уровень Ферми =5эВ.
51.14. Выразить среднюю скорость электронов в металле при Т=0К через максимальную скорость Umax. Вычислить для металла, уровень Ферми которого при Т=0К равен 6эВ.
51.15. Металл находится при температуре Т=0К. Определить, во сколько раз число электронов со скоростями от Umax/2 до Umax больше числа электронов со скоростями от 0 до Umax/2.
51.16. Выразить среднюю квадратичную скорость электронов в металле при Т=0К через максимальную скорость Umax электронов. Функцию распределения электронов по скоростям считать известной.
51.17. Зная распределение dn() электронов в металле по скоростям, выразить через максимальную скорость Umax электронов в металле. Металл находится при Т=0К.
Полупроводники. Эффект Холла
51.18. Определить уровень Ферми ƒ в собственном полупроводнике, если энергия ΔЕ0 активации равна 0,1эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергий электронов принять низший уровень зоны проводимости.
51.19. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление р=0,480м•м. Определить концентрацию n носителей заряда, если подвижности bn и bp электронов и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 м²/(В•с).
51.20. Удельная проводимость кремния с примесями равна 112См/м. Определить подвижность bp дырок и их концентрацию np, если постоянная Холла RН=3,66•104м3/Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.
51.21. В германий часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома по модели Бора, оценить его энергию Е связи и радиус r орбиты. Диэлектрическая проницаемость германия равна 16.
51.22. Полупроводник в виде тонкой пластины шириной l=1см и длиной L=10см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В=0,2Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам пластины (по направлению L) приложено постоянное напряжение U=300В. Определить холловскую разность потенциалов UH на гранях пластины, если постоянная Холла RH=0,1м3/Kл, удельное сопротивление =0,5Ом•м.
51.23. Тонкая пластина из кремния шириной l=2см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В=0,5Тл). При плотности тока j=2мкА/мм2, направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов UH оказалась равной 2,8В. Определить концентрацию n носителей заряда.
Магнитный резонанс
51.24. Определить гиромагнитное отношение для свободного электрона.
51.25. Свободный электрон находится в постоянном магнитном поле (B0=1Тл). Определить частоту переменного магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение энергий электроном (gфактор для свободного электрона равен 2).
51.26. Определить отношение эпр/цик резонансной частоты электронного парамагнитного резонанса к циклотронной частоте (gфактор равен 2,00232).
51.27. Стандартные спектрометры для наблюдения электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) имеют на одном из диапазонов фиксированную частоту =9,9ГГц. Определить магнитную индукцию поля В0, при которой происходит резонансное поглощение энергии радиочастотного поля свободным электроном (gфактор равен 2).
51.28.Опредилить гиромагнитное отношение для свободного протона.
51.29. Свободный протон находится в постоянном магнитном поле (В0=1Тл). Определить частоту 0 переменного магнитного поля, при котором происходит резонансное поглощение энергии протоном(g – фактор равен 5,58).
51.30. В опытах по изучению магнитным резонансным методом магнитных свойств атомов 25Мg в основном состоянии обнаружено резонансное поглощение энергии при магнитной индукции В0 поля, равной 0,54Тл, и частотой переменного магнитного поля, равной 1,4Мгц. Определить ядерный g – фактор.
51.31. Методом магнитного резонанса определяют магнитный момент нейрона. Резонансное поглощение наблюдается при магнитной индукции В0 поля, равной 0,682Тл, и частоте 0 переменного поля, равной 19б9МГц. Вычислить ядерный g – фактор и магнитный момент 0 нейрона. Известно, что направления спинового механического и магнитного моментов противоположны. Спин нейрона I=1/2.
51.32. Для молекулы HD, находящейся в основном состоянии, ядерный магнитный резонанс наблюдается: 1) для протона (I=1/2)в постоянном магнитном поле (В0=94мТл) при частоте 0 переменного магнитного поля, равной 4МГц; 2) для дейтонов (I=1) соответственно при В0=0,37Тл и частоте 0=2,42МГц. Определить по этим данным g – фактор и магнитный момент р и d протона и дейтона (в единицах N).
51.33. При какой частоте 0 переменного поля будет наблюдаться ЯМР ядер 19Р (I=1/2; 1=2,63N), если магнитная индукция В0 постоянного поля равна 2,35Тл?
|
| |
| |
